6.4

实数的相反数与绝对值

把相反数和绝对值从有理数推广到实数，利用数轴解释符号、距离和大小关系。

约 11 分钟实数

本文章目录

01 · 出发点

从“实数的相反数与绝对值”中的对象与问题出发

由开方运算认识无理数，把数的范围从有理数扩充到实数。

具体到“实数的相反数与绝对值”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

实数的相反数与绝对值的定义、条件与表示

相反数和绝对值的概念对所有实数都适用。实数 $a$ 的相反数是 $-a$ ；绝对值 $|a|$ 是数轴上对应点到原点的距离，因此始终非负。

把相反数和绝对值从有理数推广到实数，利用数轴解释符号、距离和大小关系。

03 · 方法

开方与实数的范围判断法

01
先区分平方根、算术平方根和立方根，再检查被开方数的允许范围。
02
判断数的类型时观察它能否写成整数之比，而不是只看根号或小数外形。
03
估算无理数时寻找相邻完全平方数或完全立方数，再逐步缩小区间。

04 · 例题

把方法落到具体问题

求 $-\sqrt2$ 的相反数，并化简 $|1-\sqrt3|$ ，再求两者之和。

解

1
$-\sqrt2$ 的相反数是 $\sqrt2$ 。
2
因为 $\sqrt3>1$ ，所以 $1-\sqrt3<0$ ，从而 $|1-\sqrt3|=\sqrt3-1$ 。
3
把两部分相加，得到 $\sqrt2+\sqrt3-1$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

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本节小结

把相反数和绝对值从有理数推广到实数，利用数轴解释符号、距离和大小关系。
化简含无理数的绝对值时，可先用平方或估算比较根式与有理数的大小，再按整体的正负选择原式或其相反数。
所求相反数为 $\sqrt2$ ，绝对值化简结果为 $\sqrt3-1$ ，两者之和为 $\sqrt2+\sqrt3-1$ 。