28.5

解直角三角形

综合利用勾股定理、锐角互余和三角函数，由已知边角求出其余边角。

约 11 分钟锐角三角函数与解直角三角形

本文章目录

01 · 出发点

从“解直角三角形”中的对象与问题出发

用边长比描述锐角，借助三角函数解决直角三角形测量问题。

具体到“解直角三角形”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

解直角三角形的定义、条件与表示

解直角三角形是由已知边角求出其余边角。除直角外，通常再有两个独立条件且至少一个是边，便可综合使用锐角互余、勾股定理和三角函数。

综合利用勾股定理、锐角互余和三角函数，由已知边角求出其余边角。

03 · 方法

固定锐角，选择恰当边长比

01
把实际情境画成直角三角形，标出直角、所研究的锐角以及已知边和目标边。
02
相对该锐角辨认对边、邻边和斜边，根据已知与所求选择正弦、余弦或正切。
03
列式求值并按要求取近似数，最后核对边的大小、角的范围和测量单位。

04 · 例题

把方法落到具体问题

直角三角形 $ABC$ 中， $\angle C=90^\circ$ 、 $\angle A=30^\circ$ 、 $AB=10\text{ cm}$ 。求其余角和两条直角边。

解

1
两个锐角互余，所以 $\angle B=60^\circ$ 。
2
边 $BC$ 是三十度角的对边，故 $BC=AB\sin30^\circ=5\text{ cm}$ 。
3
边 $AC$ 是三十度角的邻边，故 $AC=AB\cos30^\circ=5\sqrt3\text{ cm}$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

综合利用勾股定理、锐角互余和三角函数，由已知边角求出其余边角。
若已知一个锐角和斜边，可直接选正弦或余弦；得到一条边后再求其余量，计算链更短。
有 $\angle B=60^\circ$ ， $BC=5\text{ cm}$ ， $AC=5\sqrt3\text{ cm}$ 。