19.1
分类加法计数原理
把完成任务的互斥类别分别计数后相加。
本文章目录
01 · 出发点
先判断任务能否分成互斥类别
同一件事可能通过多类互不重叠的途径完成。例如从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘飞机；选择任意一条途径都已经完成任务。计数的关键不是立即相加，而是先确认这些类别互斥且覆盖全部方案。
分类加法计数原理处理的是“任选一类即可完成”的结构。每一类内部的方案数分别确定，并且任一方案只属于其中一类，全部方案数才等于各类方案数之和。
02 · 概念
分类加法计数原理
完成一件事有 k 类互斥办法，第 i 类有 m_i 种不同方法，那么完成这件事共有 m_1+m_2+…+m_k 种方法。这里的“互斥”保证同一个方案不会被重复计算。
分类标准必须覆盖全部可能，又不能发生交叉。若类别有重叠，需要先改造分类，或使用容斥思想扣除重复部分，不能直接把各类数量相加。
03 · 方法
分类计数的三步检查
- 01
明确什么算作一个完整方案，避免把中间步骤误当成最终结果。
- 02
选择一个不重不漏的分类标准，并分别计算各类方案数。
- 03
检查任一方案是否只出现一次，再把各类数量相加。
04 · 例题
把方法落到具体问题
甲、乙两地之间有 4 班火车和 3 班飞机。小明任选一个班次从甲地到乙地，共有多少种选择？
解
- 1
一个班次就是一个完整出行方案，可按交通方式分为火车和飞机两类。
- 2
火车类有 4 种选择，飞机类有 3 种选择；两类互斥。
- 3
任选其中一类的一个班次就完成出行，所以使用分类加法计数原理。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 分类加法对应“任选一类即可完成”的任务结构。
- 分类必须覆盖全部方案并且彼此互斥。
- 先定义完整方案，再分类统计，能够避免加法原理的误用。