3.2
二次函数、方程与不等式
借助二次函数图象统一理解方程的根和不等式的解集。
本文章目录
01 · 出发点
用一条抛物线连接三类二次问题
二次方程 ax²+bx+c=0 寻找图象与横轴的交点，一元二次不等式研究图象位于横轴哪一侧，二次函数则描述整条抛物线。三者共享相同的系数、零点和判别式。
这一节先建立方程、函数与图象之间的对应关系；具体的不等式符号表和解集分类留到下一节处理。把代数式看成函数值后，每个代数结论都能在图象上找到位置。
02 · 概念
方程实根、函数零点与横轴交点
对于 f(x)=ax²+bx+c（a≠0），方程 ax²+bx+c=0 的每个实根，恰好是函数 f 的零点，也对应抛物线 y=f(x) 与 x 轴交点的横坐标。三种说法描述的是同一对象。
判别式 Δ=b²-4ac 决定实零点和横轴交点的个数：Δ>0 时有两个不同实根，Δ=0 时有一个二重根且抛物线与横轴相切，Δ<0 时没有实根且抛物线不与横轴相交。
03 · 方法
建立二次式的代数与图象档案
- 01
把所有项移到一边并确定二次项系数，记作 f(x)=ax²+bx+c。
- 02
用因式分解或求根公式求出实根，并用判别式判断或核验实根个数，再把实根解释为函数零点和横轴交点横坐标。
- 03
用二次项系数判断开口，用配方确定顶点与对称轴，再结合截距画出相互一致的草图。
04 · 例题
把方法落到具体问题
设 f(x)=x²-5x+6。求方程 f(x)=0 的根，并确定抛物线的横轴交点、顶点和对称轴。
解
- 1
因式分解 f(x)=(x-2)(x-3)，所以方程的两个根为 2、3，抛物线与 x 轴交于 (2,0)、(3,0)。
- 2
配方得 f(x)=(x-5/2)²-1/4，因此顶点为 (5/2,-1/4)，对称轴为 x=5/2。
- 3
二次项系数为 1>0，抛物线开口向上；两个横轴交点关于对称轴对称，与配方结果一致。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 方程实根、函数零点和横轴交点横坐标是同一信息。
- 判别式决定实根及横轴交点的个数。
- 因式分解、配方与图象应当给出相互一致的结论。