4.7
函数图象的变换
理解平移、伸缩和翻折如何改变函数图象。
本文章目录
01 · 出发点
从基本图象追踪每一次坐标变化
复杂函数图象常可由熟悉的基本图象经过平移、伸缩和翻折得到。变换规则本质上描述原图象点的坐标如何改变。
自变量内部的变化作用于横坐标，函数外部的变化作用于纵坐标。横向变换常与式子中的直觉方向相反，因此最好用对应点核验。
02 · 概念
平移、伸缩与翻折
y=f(x-h)+k 是把 y=f(x) 按向量 (h,k) 平移：h>0 向右、h<0 向左，k>0 向上、k<0 向下；y=af(x) 把纵坐标乘 a，a<0 时还关于 x 轴翻折。
当 b≠0 时，y=f(bx) 使原图象横坐标除以 b；b<0 时还关于 y 轴翻折。多重变换应按表达式结构追踪点，而不是只背一句固定顺序。
03 · 方法
画复合变换函数图象
- 01
选定基本函数及其顶点、零点或端点等特征点。
- 02
根据内部 bx+c 求新横坐标，根据外部乘数与加数求新纵坐标，同时记录翻折和伸缩。
- 03
描出变换后的特征点与整体形状，并用定义域、值域和对称轴检查图象。
04 · 例题
把方法落到具体问题
说明 y=-2(x+1)²+3 如何由 y=x² 变换得到，并求新图象顶点、对称轴和值域。
解
- 1
把 y=x² 向左平移 1 个单位，得到 y=(x+1)²。
- 2
纵坐标乘 -2，图象关于 x 轴翻折并纵向伸长为原来的 2 倍，得到 y=-2(x+1)²。
- 3
再向上平移 3 个单位，顶点由 (0,0) 移到 (-1,3)，开口向下。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 函数内部变化控制横坐标，外部变化控制纵坐标。
- 负系数会产生关于坐标轴的翻折。
- 特征点映射可统一处理平移、伸缩和翻折。