3.4
基本不等式
理解基本不等式及其取等条件，并用于估计最值。
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01 · 出发点
用平均数关系获得可达到的界
当两个正数的和固定时，它们越接近，乘积越大；当乘积固定时，它们越接近，和越小。基本不等式把这种平衡现象写成严格的数量关系。
利用不等式求最值，必须同时回答两个问题：所得界是否对所有允许取值成立，以及是否存在取值达到这个界。取等条件缺失时，只能得到估计而未必得到最值。
02 · 概念
算术平均数不小于几何平均数
对非负实数 a、b，有 (a+b)/2≥√(ab)，等号当且仅当 a=b。若写成 a+b≥2√(ab)，仍要保留 a、b 非负这一前提。
常见应用是把目标式拆成两个正项，使其乘积为常数。还要检查变量范围能否让两项相等；若不能达到，基本不等式给出的下界就不是最小值。
03 · 方法
用基本不等式求最值
- 01
确认参与不等式的各项非负或为正，并记录变量的定义域。
- 02
通过拆项、配系数等方式使两项的积或和成为常数，从而得到统一的上界或下界。
- 03
解取等条件并核验它在原定义域中成立，再宣布最大值或最小值。
04 · 例题
把方法落到具体问题
已知 x>0，求 x+4/x 的最小值及取到最小值时的 x。
解
- 1
因为 x>0，所以 x 与 4/x 都为正，可以使用基本不等式。
- 2
有 x+4/x≥2√(x·4/x)=4。
- 3
等号要求 x=4/x，即 x²=4；结合 x>0 得 x=2。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 基本不等式适用于非负数，等号条件是两数相等。
- 最值结论需要“界成立”和“界可取”两部分。
- 拆项的目标通常是构造定积或定和。