2.1
命题与条件
区分条件与结论，理解命题真假和反例的作用。
本文章目录
01 · 出发点
从一句话中辨认可以判断真假的陈述
数学推理不是从符号堆积开始，而是从一个能够明确判断真假的陈述开始。例如“7 是素数”是真的，“所有偶数都是 4 的倍数”是假的；疑问句、祈使句以及对象不明确的句子通常不是命题。
许多命题具有“若 p，则 q”的形式，其中 p 是条件，q 是结论。分清条件与结论，才能进一步讨论推出关系、寻找反例或组织证明。
02 · 概念
命题的结构、真假与反例
命题是可以确定真假的陈述句。判断一个命题为真，需要说明结论对条件允许的每个对象都成立；判断一个命题为假，只需找到一个满足条件而不满足结论的对象，这个对象称为反例。
把命题写成“若 p，则 q”时，只考察满足 p 的对象。原句中的充分信息可以放入条件，待判断的性质放入结论；同一个命题常有不同的自然语言表达，但逻辑结构应当一致。
03 · 方法
判断条件命题的基本步骤
- 01
先确定讨论对象的范围，再把陈述改写为“若 p，则 q”，分别圈出条件 p 和结论 q。
- 02
若要证明命题为真，就从条件出发作对任意对象都有效的推导；不能只列举几个例子。
- 03
若怀疑命题为假，就寻找满足 p 但不满足 q 的对象，并明确核验这两点。
04 · 例题
把方法落到具体问题
判断命题“若整数 n 是 6 的倍数，则 n 是 4 的倍数”的真假，并说明理由。
解
- 1
条件是“n 为整数且 6 整除 n”，结论是“4 整除 n”。
- 2
取 n=6，它满足条件，因为 6=6×1。
- 3
但 6 不是 4 的整数倍，因此这个对象使结论失败。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 命题必须是能够确定真假的陈述句。
- “若 p，则 q”中 p 是条件，q 是结论。
- 真命题需要一般性论证，假命题只需一个合格反例。