9.7
解三角形及其应用
根据已知边角选择定理，处理测量、多解和范围问题。
本文章目录
01 · 出发点
根据已知条件选择解三角形工具
解三角形是由部分边角条件求其余边角。关键不是套固定顺序，而是识别已知条件类型并选择正弦定理、余弦定理或面积公式。
测距、测高问题还需把现实对象抽象成三角形，说明测量角的含义，并在最后还原单位和精度。
02 · 概念
解三角形的策略与边界
ASA、AAS 通常先用内角和补角，再用正弦定理；SAS 先用余弦定理求第三边；SSS 用余弦定理求角；SSA 用正弦定理并检查 0、1、2 解。
面积可用 S=(1/2)bc sin A，也可在求得必要边角后计算。所有结果都必须满足内角和、边角对应和三角形不等式。
03 · 方法
完成解三角形与测量问题
- 01
画图并统一记号，把已知量归类为 ASA、AAS、SAS、SSS 或 SSA。
- 02
选择能引入最少新未知量的定理逐步求解；涉及 SSA 时列出并筛选补角可能。
- 03
用内角和、边角大小和单位进行检验，按题意保留精度并解释实际结论。
04 · 例题
把方法落到具体问题
同岸两点 A、B 相距 100 m，河对岸一点 C 满足角 A=60°、角 B=45°。求 AC 的长度。
解
- 1
三角形 ABC 中，C=180°-60°-45°=75°，已知边 AB=100 对应角 C。
- 2
由正弦定理，AC/sin45°=AB/sin75°，所以 AC=100sin45°/sin75°。
- 3
sin75°=(sqrt6+sqrt2)/4，化简得 AC=100(sqrt3-1) m，约为 73.2 m。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 条件类型决定首选定理。
- SSA 是需要特别检查多解的情形。
- 建模答案必须回到现实语境解释并带单位。