10.6
复数根
在复数范围内研究简单方程的根，并理解实系数方程非实根的共轭关系。
本文章目录
01 · 出发点
在复数范围内寻找方程的全部根
数系扩充到复数后，实系数二次方程即使判别式小于 0 也有两个复数根。方程求根仍遵循代数变形，只是允许出现 i。
实系数多项式的非实根成共轭对出现。这一性质既能帮助求根，也能检查所得根是否完整。
02 · 概念
二次方程复根与共轭关系
对实系数二次方程 ax^2+bx+c=0（a≠0），若判别式 Delta<0，则根为 [-b±i sqrt(-Delta)]/(2a)。求根公式在复数范围内保持统一。
若实系数多项式 P(z) 以 a+bi 为根，则 P 的共轭关系保证 a-bi 也是根。根的和与积仍满足韦达定理。
03 · 方法
求解并核验复数根
- 01
将方程整理为标准形式，计算判别式；负判别式写成 i 与正实数平方根的乘积。
- 02
使用求根公式或配方法得到全部根，并化简为标准复数形式。
- 03
通过代回原方程、共轭成对以及韦达定理核验根的数量和数值。
04 · 例题
把方法落到具体问题
在复数范围内解方程 z^2-2z+5=0。
解
- 1
判别式 Delta=(-2)^2-4×1×5=-16。
- 2
由求根公式 z=[2±sqrt(-16)]/2=[2±4i]/2=1±2i。
- 3
两根之和为 2、积为 (1+2i)(1-2i)=5，分别符合韦达定理。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 复数范围内负判别式二次方程仍有根。
- 实系数方程的非实根成共轭对出现。
- 韦达定理可用于检查复数根。