集合间的关系

01 · 出发点

一个点在区域内，和一个区域在另一区域内

“小明是高一学生”描述一个对象和一个集合之间的关系；“参加合唱团的高一学生都是高一学生”比较的是两个集合。前者使用属于关系，后者使用包含关系。

判断集合之间的关系，不能只看几个共同元素，而要逐个检查一个集合中的每一个元素是否都落在另一个集合中。

02 · 包含

子集与真子集

一般地，对于两个集合 $A,B$，如果$A$ 中任意一个元素都是 $B$的元素，就称 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A\subseteq B$。

子集允许两个集合相等。如果 $A\subseteq B$，并且$B$ 中至少有一个元素不属于 $A$，则称$A$ 是 $B$ 的真子集，记作$A\subsetneq B$。

03 · 双向

集合相等需要双向包含

两个集合相等，意味着它们拥有完全相同的元素。证明时通常不尝试“看起来一样”，而是分别检查两个方向：

符号 $\iff$ 读作“当且仅当”，表示左右两个判断可以互相推出。 第一个方向排除 $A$ 中有多余元素，第二个方向排除$B$ 中有多余元素。双向包含是一种非常重要的证明结构，之后还会出现在函数、几何和概率中。

04 · 特殊集合

空集没有元素，但它仍然是集合

不含任何元素的集合称为空集，记作$\varnothing$。例如方程$x^2+1=0$ 的实数解集是空集。

对任意集合 $A$，上述包含关系都成立。

05 · 层级

属于看元素，包含看集合

设 $A=\{1,\{2\}\}$。这个集合有两个元素：数 1 和集合$\{2\}$。于是：

06 · 例题

用定义判断集合关系

07 · 延伸

有限集合有多少个子集

设 $a\neq b$。对集合 $\{a,b\}$，构造子集时，每个元素都只有“选入”或“不选入”两种选择，因此共有$2\times2=2^2$ 个子集：

一般地，含有 $n$ 个元素的有限集合共有$2^n$ 个子集，其中真子集有 $2^n-1$ 个。 这个结论来自逐个元素的独立选择，而不是需要单独背诵的偶然公式。