11.5
直线、平面平行
掌握线面平行和面面平行的判定与性质。
本文章目录
01 · 出发点
从线线平行推向线面与面面平行
直接验证直线与平面没有公共点往往困难。立体几何的判定定理允许在平面内寻找一条平行线，把线面问题转化为线线问题。
证明两个平面平行则需要在其中一个平面内找到两条相交直线，分别平行于另一个平面。相交条件保证覆盖两个独立方向。
02 · 概念
平行的判定与性质
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则该直线平行于这个平面。若一个平面内两条相交直线都平行于另一平面，则两平面平行。
若直线平行于平面，经过该直线的平面与原平面相交，则交线平行于该直线。两个平行平面被第三个平面所截，所得交线平行。
03 · 方法
构造平行证明链
- 01
明确待证对象后，从中点、中位线、平行四边形或已知平面交线中寻找平行线。
- 02
应用判定定理时逐项写出线在面内、线在面外、线线平行等条件。
- 03
若已知线面或面面平行需要推出线线平行，则构造合适的相交平面并使用性质定理。
04 · 例题
把方法落到具体问题
四面体 ABCD 中，M、N 分别为 AB、AC 的中点。证明 MN∥平面 BCD。
解
- 1
在三角形 ABC 中，M、N 为两边中点，由中位线定理得 MN∥BC。
- 2
两平面 ABC、BCD 的交线是 BC，而 MN 位于平面 ABC 内、MN∥BC 且 MN≠BC；若 MN 也在平面 BCD 内，就应有 MN⊂BC，产生矛盾。因此 MN 不在平面 BCD 内。
- 3
由线面平行判定定理，MN∥平面 BCD。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 线面平行判定把问题转为线线平行。
- 面面平行判定需要两个相交方向。
- 性质定理常借助交线把线面关系还原为线线关系。