19.3
排列
研究从不同元素中取出并按顺序排列的计数问题。
本文章目录
01 · 出发点
相同对象，不同顺序可以形成不同结果
三名同学排成一列时，谁站第一、第二、第三会改变排列结果。排列问题不仅关心选了哪些对象，还关心这些对象占据位置的先后顺序。
从 n 个不同元素中取出 m 个，按照一定顺序排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。交换两个元素的位置，通常会得到另一个排列。
02 · 概念
排列数及其乘法结构
第一个位置可从 n 个元素中选择，第二个位置剩 n-1 个选择，依次到第 m 个位置剩 n-m+1 个选择。因此排列数是连续递减的 m 个正整数之积。
当 m=n 时称为全排列，记作 n!。约定 0!=1，使阶乘公式在边界情形和组合恒等式中保持一致。
03 · 方法
从位置出发计算排列
- 01
确认对象是否互不相同，并判断顺序变化是否产生新方案。
- 02
优先安排限制最多的位置或对象，再处理普通位置。
- 03
用排列数或分步乘法计算，并检查是否存在重复计数。
04 · 例题
把方法落到具体问题
从 6 名选手中选出 3 名，分别获得金、银、铜牌，共有多少种结果？
解
- 1
金、银、铜牌是三个不同角色，同一组三人以不同方式获奖会产生不同结果。
- 2
金牌有 6 种人选；确定金牌后，银牌有 5 种人选。
- 3
再确定银牌后，铜牌有 4 种人选，因此这是从 6 个元素中取 3 个的排列。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 排列同时关注所选元素和它们的顺序。
- 排列数来自逐个填充不同位置的乘法过程。
- 有限制的排列应先处理特殊位置或特殊对象。