13.6
相互独立事件
判断事件独立性并使用概率乘法关系。
本文章目录
01 · 出发点
一个事件是否改变另一个事件的概率
若知道事件 A 已发生并不改变事件 B 的发生可能性，就称 A、B 相互独立。独立描述概率关系，不等于两个事件没有共同结果。
独立事件同时发生的概率等于各自概率之积。反过来，在概率定义完整时也可用乘积等式判断两个事件是否独立。
02 · 概念
独立性的乘法关系
事件 A、B 相互独立的判据是 P(A∩B)=P(A)P(B)。若 A、B 独立，则 A 与 B 的对立、A 的对立与 B、两个对立事件也分别独立。
互斥与独立不同：两个正概率互斥事件不可能独立，因为交集概率为 0，而概率乘积大于 0。独立事件通常可以同时发生。
03 · 方法
判断并计算独立事件
- 01
根据试验机制初判一个事件发生后是否改变另一个事件的概率，必要时计算验证。
- 02
已知 P(A)、P(B)、P(A∩B) 时比较交集概率与概率乘积。
- 03
多次独立事件同时发生使用乘法，涉及至少一次发生时常对“全部不发生”取补。
04 · 例题
把方法落到具体问题
某试验中 P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∩B)=0.3。判断 A、B 是否独立，并求 A 发生而 B 不发生的概率。
解
- 1
计算 P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3，与 P(A∩B) 相等，所以 A、B 独立。
- 2
B 的对立事件概率为 1-0.5=0.5，且 A 与 B 的对立事件也独立。
- 3
因此 P(A∩B 的对立)=P(A)P(B 的对立)=0.6×0.5=0.3。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 独立性由交集概率等于概率乘积刻画。
- 独立事件可以同时发生，互斥事件不能同时发生。
- 独立关系会传递到事件的对立事件组合。