22.6
数学探究的一般过程
经历提出问题、形成猜想、寻找证据、论证与反思的探究过程。
本文章目录
01 · 出发点
从观察、猜想到论证与反思
数学探究通常从例子、图形或计算中的规律开始。观察可以产生猜想，但有限例子只能提供证据，不能代替对所有情形的证明。
探究过程包括提出问题、形成猜想、寻找证据、尝试证明、寻找反例和修正结论。失败的猜想同样有价值，因为反例能够暴露缺失条件。
02 · 概念
猜想、证据、证明与反例
归纳观察从特殊情形提出一般猜想；演绎证明从定义和已知结论推出必然结果。二者分工不同：归纳发现方向，演绎建立可靠性。
一个反例足以否定全称命题。发现反例后，应分析它破坏了哪个隐含条件，再把原猜想修正为可能成立的新命题。
03 · 方法
形成可交流的探究循环
- 01
从具体对象生成数据或图形，记录稳定规律与异常情形。
- 02
把规律写成条件清楚的命题，并主动寻找边界和反例。
- 03
选择代数、几何或归纳等证明路径，完成后反思条件能否削弱或推广。
04 · 例题
把方法落到具体问题
观察 3、5、7 后猜想“所有奇数都是素数”。应怎样探究？
解
- 1
先明确命题是全称命题：任意奇数都没有 1 和自身以外的正因数。
- 2
继续检查奇数，9=3×3 是奇数但不是素数，构成反例。
- 3
分析后可修正为“除 2 外的素数都是奇数”，再用偶数大于 2 可被 2 整除来证明。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 观察和归纳用于提出猜想，证明用于确认一般结论。
- 反例是检验全称命题和发现缺失条件的有力工具。
- 探究是提出、检验、修正和再论证的循环。