14.7
数列求和
根据数列结构选择分组、错位相减和裂项相消等求和方法。
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01 · 出发点
不是每个数列都能直接套公式
不是每个数列都能直接套用等差或等比求和公式。复杂和式常隐藏着可分组、可相减或可消去的结构，识别结构比机械展开更重要。
常用方法包括分组求和、错位相减、裂项相消以及先求通项再求和。选择方法的依据是项的代数形式，而不是题目表面上出现了哪些符号。
02 · 概念
分组、裂项与错位相减
分组法把原项拆为若干熟悉数列并分别求和；错位相减适合“等差因子×等比因子”；裂项相消把通项写成相邻两项之差，使内部项抵消。
裂项后必须写出首部和尾部若干项，明确哪些项抵消、哪些边界项保留。求和范围改变时，保留下来的边界也会改变。
03 · 方法
先辨结构再选择求和策略
- 01
分析通项：因式分解、部分分式或拆项，寻找等差、等比与相邻差结构。
- 02
展开边界：至少写出前两项和后两项，确认抵消方向与求和上限。
- 03
整理检验：化简闭式后代入 n=1 或 n=2，与原和式直接计算进行核对。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求 S_n=∑_{k=1}^n 1/[k(k+1)]。
解
- 1
作部分分式分解：1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1)。
- 2
展开求和：S_n=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/(n+1))。
- 3
中间项全部抵消，保留 1-1/(n+1)=n/(n+1)；当 n=1 时结果为 1/2，与原式一致。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 求和前先识别通项结构，再选择分组、错位相减或裂项相消。
- 裂项相消的结果由求和区间的边界项决定。
- 用小 n 直接计算检查闭式，能快速发现项数和边界错误。