5.7
三类函数的增长差异
比较幂、指数与对数函数在不同范围内的增长速度。
本文章目录
01 · 出发点
比较长期增长而不是只比一个点
对数、幂和指数函数在某些有限区间内可能交错大小，但当 x 足够大时，它们的增长层级会稳定下来。单个点的数值大小不能代表长期增长速度。
正底数大于 1 的指数函数最终超过任意固定正幂函数，正幂函数最终超过对数函数。这一差异解释了复利增长、算法复杂度和尺度压缩中的巨大数量级变化。
02 · 概念
对数、幂与指数的增长层级
当 a>1、b>1、r>0 时，x→+∞ 过程中，log_a x 的增长慢于 x^r，而 x^r 的增长慢于 b^x。这里的“慢于”指比值趋于 0，而非对每个正 x 都保持固定大小。
离散比较中可研究相邻项比值。例如 b^n/n^r 的相邻比为 b(n/(n+1))^r；当 n 足够大时该比值大于 1，于是指数项相对幂项持续拉开。
03 · 方法
比较具体函数的增长
- 01
区分题目是在某个固定区间比较函数值，还是讨论自变量趋于无穷时的增长趋势。
- 02
固定点比较可直接计算或利用单调性；长期比较可构造比值并研究其变化。
- 03
找到交点或阈值后，还要证明阈值之后关系保持稳定，不能只验证一个大数。
04 · 例题
把方法落到具体问题
说明对所有整数 n≥10，都有 2^n>n³。
解
- 1
先检查起点：2^10=1024>1000=10³。
- 2
设 R_n=2^n/n³，则 R_(n+1)/R_n=2(n/(n+1))³。
- 3
当 n≥4 时，2(n/(n+1))³>1，所以 R_n 从 n=4 起严格递增。
- 4
因此 n≥10 时 R_n≥R_10>1，即 2^n>n³。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 长期增长层级依次为对数、正幂、指数。
- 有限区间内的函数值大小仍可能交错。
- 比值及其单调性可以证明某个阈值后的稳定关系。