4.6
函数的奇偶性
从定义域对称性和函数值关系判断奇函数与偶函数。
本文章目录
01 · 出发点
用关于原点的输入比较函数值
有些函数图象关于 y 轴对称，有些关于原点中心对称。这些几何特征可由 f(-x) 与 f(x) 的代数关系准确描述。
谈奇偶性前，定义域必须关于原点对称；否则 -x 可能不在定义域中，比较便没有意义。零函数是既奇又偶的特殊函数。
02 · 概念
奇函数与偶函数
若定义域 D 关于原点对称，且对任意 x∈D 有 f(-x)=f(x)，则 f 为偶函数，图象关于 y 轴对称。
若对任意 x∈D 有 f(-x)=-f(x)，则 f 为奇函数，图象关于原点对称。若奇函数在 x=0 处有定义，则由 f(0)=-f(0) 可得 f(0)=0。
03 · 方法
用定义判断函数奇偶性
- 01
先求定义域并检查：若 x 在定义域中，-x 是否也一定在定义域中。
- 02
计算并化简 f(-x)，将它分别与 f(x)、-f(x) 比较。
- 03
根据恒等关系给出奇、偶或非奇非偶的结论，必要时用图象对称性复核。
04 · 例题
把方法落到具体问题
判断 f(x)=x³-x 的奇偶性，并说明图象的对称性。
解
- 1
函数定义域为 R，关于原点对称。
- 2
计算 f(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x。
- 3
整理得 f(-x)=-(x³-x)=-f(x)，该关系对任意实数 x 成立。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 奇偶性首先要求定义域关于原点对称。
- 偶函数满足 f(-x)=f(x)，奇函数满足 f(-x)=-f(x)。
- 代数关系分别对应 y 轴对称和原点中心对称。