13.2
随机事件及其关系
用集合语言表示事件的包含、相等、交、并与对立。
本文章目录
01 · 出发点
用集合语言组织随机事件
随机事件是样本空间的子集：试验结果落入这个子集，就称事件发生。集合运算因而能准确表达“同时发生”“至少一个发生”和“没有发生”。
不可能事件是空集，必然事件是整个样本空间。事件关系的运算规则与集合完全一致。
02 · 概念
事件的包含、交、并与对立
A 包含于 B 表示 A 发生必导致 B 发生；A∩B 表示 A、B 同时发生；A∪B 表示至少一个发生。若 A∩B 为空集，则 A、B 互斥。
A 的对立事件是 Ω 中去掉 A 的部分，记作 A 的补集，表示 A 不发生。对立事件一定互斥且并为全集，但互斥事件未必互为对立。
03 · 方法
把语言翻译成事件运算
- 01
先写样本空间和各事件包含的样本点，再判断包含、相等或互斥。
- 02
“且”“至少一个”“不”分别翻译为交、并、补，注意“恰有一个”还需排除交集。
- 03
用列举或维恩图计算运算后的事件，并检查结果仍是样本空间的子集。
04 · 例题
把方法落到具体问题
掷一枚骰子，A 表示点数为偶数，B 表示点数大于 3。求 A∩B、A∪B 和 A 的对立事件。
解
- 1
样本空间 Omega={1,2,3,4,5,6}，A={2,4,6}，B={4,5,6}。
- 2
同时满足偶数且大于 3 的点数为 A∩B={4,6}；至少满足一个条件的为 A∪B={2,4,5,6}。
- 3
不为偶数即奇数，所以 A 的对立事件为 {1,3,5}。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 事件是样本空间的子集。
- 交、并、补分别表达且、至少一个、不发生。
- 对立事件比互斥多一个并为全集的条件。