9.2
两角和与差的三角公式
掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
本文章目录
01 · 出发点
把两个角的函数值连接起来
知道 alpha、beta 的三角函数值后，和差公式允许计算 alpha±beta 的三角函数值，无需先求出角本身。
余弦差公式配合诱导关系可推出余弦和、正弦和差公式，再由正弦除以余弦得到正切和差公式。
02 · 概念
两角和与差的公式体系
正弦公式具有“正余、余正”的交叉结构：sin(alpha±beta)=sin alpha cos beta±cos alpha sin beta；余弦公式则是“余余、正正”，且内部符号相反。
当相关余弦不为零时，tan(alpha±beta)=(tan alpha±tan beta)/(1∓tan alpha tan beta)。使用正切公式必须关注各正切是否有定义以及分母是否为零。
03 · 方法
计算与化简和差角
- 01
先识别目标函数和角的和差形式，选择相应公式，不必把角单独求出。
- 02
已知一种三角函数值时结合象限，由平方关系求另一函数值并确定符号。
- 03
正切公式使用前检查定义域；计算后用象限或估算验证结果符号。
04 · 例题
把方法落到具体问题
alpha、beta 均为锐角，sin alpha=3/5，cos beta=12/13，求 sin(alpha+beta)。
解
- 1
alpha 为锐角，所以 cos alpha=sqrt(1-9/25)=4/5。
- 2
beta 为锐角，所以 sin beta=sqrt(1-144/169)=5/13。
- 3
代入和角公式：sin(alpha+beta)=(3/5)(12/13)+(4/5)(5/13)=56/65。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 正弦和差公式是交叉乘积结构。
- 余弦和差公式的正弦乘积项符号相反。
- 由已知值求和差值必须结合象限和定义域。