16.6
直线与圆的位置关系
用几何距离或方程根的情况判断相交、相切与相离。
本文章目录
01 · 出发点
交点个数由一段最短距离决定
一条直线可能穿过圆、刚好接触圆或完全避开圆，分别对应相交、相切和相离。几何上只需比较圆心到直线的距离与半径。
代数上联立直线与圆的方程会得到一元二次方程，交点个数由判别式决定。距离法更简洁，方程法还能进一步求出交点坐标和弦长。
02 · 概念
距离、判别式与弦长
设圆心到直线的距离为 d、半径为 r。d<r 时有两个交点，d=r 时有一个切点，d>r 时没有公共点。
若直线截圆所得弦长为 L，则圆心到弦所在直线的垂线平分弦，由直角三角形得 L=2√(r^2-d^2)，前提是 d≤r。
03 · 方法
先判位置再求交点
- 01
从圆方程读出圆心和半径，把直线化为一般式并计算圆心到直线的距离。
- 02
比较 d 与 r 判断位置关系；需要交点时再联立方程或利用垂足与弦长。
- 03
相切时检查切点既在直线上又在圆上，并验证圆心到切点的半径垂直直线。
04 · 例题
把方法落到具体问题
判断直线 3x+4y-25=0 与圆 x^2+y^2=25 的位置关系，并求公共点。
解
- 1
圆心 O(0,0)，半径 r=5。圆心到直线距离 d=|-25|/√(3^2+4^2)=25/5=5。
- 2
因为 d=r，直线与圆相切，圆心到直线的垂足即唯一切点。
- 3
点 T(3,4) 满足 3×3+4×4-25=0 且 3^2+4^2=25，因此切点为 (3,4)。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 距离与半径的比较给出直线和圆的三种位置关系。
- 相切时圆心到直线的垂足是切点，半径垂直切线。
- 方程联立适合求交点，几何距离法适合快速判定。