8.2
向量的线性运算
掌握向量加法、减法和数乘的几何意义与运算规则。
本文章目录
01 · 出发点
把连续位移合成为一个位移
从 A 到 B 再从 B 到 C，两次位移的总效果等于从 A 直接到 C。向量加法正是对这种合成关系的抽象。
减去一个向量等于加上它的相反向量；数乘则同时改变向量的长度，并可能改变方向。这三种运算构成向量线性运算。
02 · 概念
加法、减法与数乘
向量加法可用三角形法则或平行四边形法则表示，并满足交换律和结合律。向量 a-b 定义为 a+(-b)。
实数 lambda 与向量 a 的积 lambda a 的模为 |lambda||a|；lambda>0 时同向，lambda<0 时反向，lambda=0 时结果为零向量。数乘对向量加法和数的加法满足分配律。
03 · 方法
进行线性运算
- 01
几何作图时先平移向量使其首尾相接，再连接总起点和总终点。
- 02
含减法的式子先改写为加相反向量，或利用同起点向量的终点连线理解。
- 03
化简代数式时使用交换律、结合律和分配律合并同类向量，同时保留向量符号。
04 · 例题
把方法落到具体问题
在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点。用向量 AB、AC 表示向量 AD。
解
- 1
由三角形法则，向量 AD=向量 AB+向量 BD。
- 2
D 是 BC 的中点，所以向量 BD=(1/2)向量 BC；又有向量 BC=向量 AC-向量 AB。
- 3
代入并合并：向量 AD=向量 AB+(1/2)(向量 AC-向量 AB)=(1/2)(向量 AB+向量 AC)。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 向量加法表示位移合成。
- 向量减法就是加相反向量。
- 数乘改变模并由系数符号决定方向。