11.3
表面积与体积
计算柱、锥、台和球的表面积与体积。
本文章目录
01 · 出发点
展开表面并累积空间
表面积度量几何体外部边界的面积，体积度量它占据空间的大小。两者单位维数不同，计算时必须分清侧面、底面与内部公共面。
柱体和锥体的体积都可用底面积与高表示；圆柱、圆锥的侧面积则来自沿母线展开后的矩形或扇形。
02 · 概念
柱、锥、台与球的公式
柱体体积 V=Sh，锥体体积 V=Sh/3。棱台或圆台体积为 h(S1+sqrt(S1S2)+S2)/3，其中 S1、S2 是两底面积。
球的表面积为 4pi R^2，体积为 4pi R^3/3。圆柱侧面积 2pi rh，圆锥侧面积 pi rl，其中 l 为母线长。
03 · 方法
计算组合体的面积和体积
- 01
画出或想象展开图，明确哪些面暴露在外；表面积按外表面分块求和。
- 02
体积把组合体拆成基本几何体相加，挖去部分则相减，统一长度单位。
- 03
识别半径、底面积、垂直高度和母线，代入后检查面积单位为平方、体积单位为立方。
04 · 例题
把方法落到具体问题
圆锥底面半径为 3，高为 4，求其总表面积和体积。
解
- 1
母线 l=sqrt(3^2+4^2)=5。
- 2
侧面积为 pi rl=15pi，底面积为 pi r^2=9pi，所以总表面积为 24pi。
- 3
体积 V=(1/3)pi r^2h=(1/3)×9pi×4=12pi。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 表面积只统计外部边界。
- 体积公式使用垂直高度。
- 组合体可通过体积加减和表面分块处理。