8.4
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中进行向量的坐标运算。
本文章目录
01 · 出发点
把向量运算变成坐标运算
在平面直角坐标系中，单位向量 i、j 分别指向 x 轴和 y 轴正方向。任意向量都能唯一写成 xi+yj，于是记为坐标 (x,y)。
坐标表示把图形上的平移、合成和分解转化为对应分量的实数运算，使向量问题具备直接的计算方法。
02 · 概念
向量坐标及其运算
若 A(x1,y1)、B(x2,y2)，则向量 AB=(x2-x1,y2-y1)，即终点坐标减起点坐标。向量的加、减、数乘都按对应坐标进行。
向量 a=(x,y) 的模为 sqrt(x^2+y^2)。线段中点坐标可由起点坐标加上二分之一的位移向量得到。
03 · 方法
用坐标处理向量
- 01
先建立坐标系并写清有关点的坐标，再按终点减起点得到向量坐标。
- 02
向量等式按横、纵坐标分别列式，线性运算对两个分量同步进行。
- 03
算出结果后结合方向或长度作几何检查，例如交换端点应使两个分量同时变号。
04 · 例题
把方法落到具体问题
已知 A(-1,2)、B(5,-4)，点 P 满足向量 AP=(2/3)向量 AB，求 P 的坐标。
解
- 1
先求向量 AB=(5-(-1),-4-2)=(6,-6)。
- 2
数乘得向量 AP=(2/3)(6,-6)=(4,-4)。
- 3
由 P=A+向量 AP，得到 P=(-1+4,2-4)=(3,-2)。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 向量坐标是相对于坐标基底的两个分量。
- 有向线段坐标等于终点坐标减起点坐标。
- 向量线性运算可逐坐标完成。