14.8
数列的实际应用
用数列刻画增长、储蓄、分期和逐步变化问题。
本文章目录
01 · 出发点
用离散变化描述分期增长
现实中的逐期变化可以按时刻编号：每期固定增加对应等差模型，每期按当前量的固定比例变化对应等比模型。建模的第一步是辨认绝对变化还是相对变化。
数列模型还必须明确第 0 期与第 1 期的含义。利息何时结算、款项在期初还是期末发生，都会使指数或求和项数相差 1。
02 · 概念
数列模型中的时点与累计
若每期增加固定量 d，则 a_n=a_0+nd；若每期按比例 r 增长，则 a_n=a_0(1+r)^n。多次等额存入并计息时，常出现等比数列求和。
数学结果必须回到情境检验单位、时间点和取值限制。人数、件数通常取整数；金额需按题意确定保留位数，增长率应转化为小数参与计算。
03 · 方法
建模、求解并解释序号
- 01
定义变量和时间点：写清 a_n 表示第 n 期开始还是结束时的量，并统一单位。
- 02
识别变化规则：固定差用等差模型，固定倍数用等比模型，混合过程按时间轴逐段建立。
- 03
求解并解释：计算后检查正负、整数性和数量级，再用完整语句回答实际问题。
04 · 例题
把方法落到具体问题
将 10000 元存入账户，年利率为 5%，利息每年末计入本金。3 年末本息和是多少？
解
- 1
每年末本金乘以 1+5%=1.05，初始金额为 A_0=10000 元。
- 2
经过 3 个完整计息周期，A_3=10000×1.05^3。
- 3
计算 1.05^3=1.157625，所以 A_3=11576.25 元，并确认金额大于本金且增长约 15.76%。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 固定绝对增量对应等差，固定相对增量对应等比。
- 建立时间轴并定义序号含义，是实际数列建模的关键。
- 结果要结合单位、离散性和现实数量级进行解释。