集合与元素

01 · 出发点

集合从一条明确的边界开始

比较下面两种说法：“本班数学成绩优秀的同学”和“本班数学成绩不低于 90 分的同学”。第一种说法里的“优秀”可能因人而异；第二种说法给出了 90 分这条明确边界，每个人都能得到同一份名单。

数学中的集合正是这样建立的：先确定研究范围和判断标准，再把所有满足标准的对象作为一个整体。集合可以很小，也可以包含无穷多个对象；关键始终是给定一个对象后，它的归属应当可以明确判断。

02 · 定义

集合与元素

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集。集合通常用大写拉丁字母$A,B,C$ 表示，元素通常用小写字母$a,b,x$ 表示。

元素本身没有固定类型。一个集合的元素可以是数、点、图形、函数，也可以是另一个集合。每次阅读集合时，都要先弄清“当前研究的对象是什么”。

03 · 记号

用属于记号表达归属

若 $a$ 是集合 $A$ 的元素，记作$a\in A$，读作“$a$ 属于$A$”。若 $a$ 不是$A$ 的元素，记作 $a\notin A$。

04 · 约定

常用数集

高中数学会反复使用几类数集。笛卡尔数学统一约定$0\in\mathbb N$，并用$\mathbb N^*$ 表示正整数集。阅读其他资料时，应先查看它对$\mathbb N$ 的约定。

05 · 结构

集合中元素的三个特征

确定性

给定一个对象，它属于或不属于集合，判断结果必须明确。

互异性

同一个元素在集合中只算一次，重复书写不会产生新元素。

无序性

只要元素完全相同，改变书写顺序不会改变集合。

两边虽然顺序不同，所包含的元素没有变化，因此表示同一个集合。若书写过程中重复列出某个元素，它仍不会产生新元素；按列举法规范，应当删去重复项，例如把$\{1,2,2,3\}$ 写成 $\{1,2,3\}$。

06 · 例题

从判断标准到元素归属

07 · 辨析

0、空集和只含 0 的集合

花括号不是装饰。给对象加上花括号，就把“对象本身”变成了“以这个对象为元素的集合”。这个层级差异会贯穿集合关系和集合运算。