11.9
三垂线定理
理解斜线、射影和平面内直线之间的垂直关系，并用三垂线定理及其逆定理解决空间问题。
本文章目录
01 · 出发点
连接斜线、射影与平面内垂线
从平面外一点向平面引垂线，再连接平面内一点得到斜线。斜线在平面内的正射影把空间中的垂直问题转化为平面内的垂直问题。
三垂线定理及其逆定理给出：平面内直线垂直于斜线的射影，与它垂直于斜线之间可以相互推出。
02 · 概念
三垂线定理及其逆定理
设 PO⊥平面 alpha，A 在平面 alpha 内且 A≠O，则 OA 是斜线 PA 在平面内的射影。若平面内直线 l 经过 A 且 l⊥OA，则 l⊥PA。
逆定理表明，在同样构型下，若平面内过 A 的直线 l⊥PA，则 l⊥OA。两者都依赖 PO⊥平面所提供的 l⊥PO。
03 · 方法
使用三垂线定理
- 01
确定平面外点 P、垂足 O、斜足 A，并明确射影 OA。
- 02
检查目标直线 l 位于平面内且经过 A，再判断已知的是 l⊥OA 还是 l⊥PA。
- 03
选择正定理或逆定理推出所需垂直关系，并可用 l 同时垂直 PO、OA 的线面垂直判定复核。
04 · 例题
把方法落到具体问题
PO⊥平面 ABC，O 在平面内，A 在平面内且 A≠O。若平面内直线 AB⊥AO，证明 AB⊥AP。
解
- 1
因为 PO⊥平面 ABC，所以 PO⊥AB。
- 2
题设给出 AB⊥AO，而 PO 与 AO 相交于 O，且二者都位于平面 AOP 内。
- 3
AB 同时垂直平面 AOP 内两条相交直线 PO、AO，因此 AB⊥平面 AOP，进而 AB⊥AP；这也正是三垂线定理。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 斜线的射影连接空间垂直与平面垂直。
- 三垂线定理与逆定理可双向转化垂直关系。
- 使用前必须核对垂足、斜足、射影和相交条件。