1.5 集合语言的应用 | 笛卡尔数学

01 · 连接

每个条件都可以对应一个“真值区域”

在同一个给定讨论范围 $U$ 内，分别把所有使条件 $p(x)$ 、 $q(x)$ 成立的 $x$ 放在一起，就得到两个条件对应的对象集合：

P=\{x\in U\mid p(x)\},\qquad Q=\{x\in U\mid q(x)\}

例如在实数范围内，条件 $p(x):x^2\leq4$ 对应集合 $P=[-2,2]$ 。当 $p(x)$ 是方程或不等式时，这个集合称为它的解集。这样，方程、不等式和定义域限制都能被翻译成集合，再用统一的集合语言处理。

条件 $p(x)$

确定范围 $x\in U$

求出真值区域 $P$

选择表示列举、区间或图形

02 · 翻译

“且、或、非”对应交、并、补

条件语言	集合语言	元素要求
$p(x)$ 且 $q(x)$	$P\cap Q$	两个条件同时成立
$p(x)$ 或 $q(x)$	$P\cup Q$	至少一个条件成立
非 $p(x)$	$\complement_U P$	在全集内排除 $P$

03 · 例题

多个限制条件的解集

求满足 $|x-1|<2$ 且 $x\geq0$ 的实数 $x$ 组成的集合。

解

1
由 $|x-1|<2$ 得 $-1<x<3$ ，对应集合 $P=(-1,3)$ 。
2
由 $x\geq0$ 得集合 $Q=[0,+\infty)$ 。
3
两个条件同时成立，取交集：
$P\cap Q=(-1,3)\cap[0,+\infty)=[0,3)$
4
回看端点：0 满足两个条件，3 不满足严格不等式，所以结果左闭右开。

求满足 $x^2\leq4$ 或 $x>1$ 的实数解集。

解

1
$x^2\leq4$ 的解集为 $P=[-2,2]$ 。
2
$x>1$ 的解集为 $Q=(1,+\infty)$ 。
3
至少一个条件成立，取并集：
$P\cup Q=[-2,2]\cup(1,+\infty)=[-2,+\infty)$
4
由于两个区间在 $(1,2]$ 重叠，合并后没有空隙。

04 · 应用

函数定义域是所有合法输入的集合

求函数 $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$ 的定义域。

解

1
平方根有意义要求 $x+1\geq0$ ，得到 $P=[-1,+\infty)$ 。
2
分母不为 0 要求 $x\neq2$ ，在实数全集内对应 $Q=(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$ 。
3
两个限制必须同时满足，所以定义域为 $P\cap Q=[-1,2)\cup(2,+\infty)$ 。
4
结果显示：先从 -1 向右取值，再挖去不合法的点 2。

05 · 反向阅读

从集合表示读回原条件

集合语言不仅用于记录答案，也能反向还原条件。看到 $(-\infty,-1)\cup[2,+\infty)$ ，可以按区间逐段翻译：

x<-1\quad\text{或}\quad x\geq2

左端 -1 不在集合中，因此是不带等号的严格不等式；右端 2 在集合中，因此要带等号。两个区间之间存在空隙，所以使用“或”连接，而不是把它们写成一个连续范围。

06 · 全章

集合语言的三条主线

元素关系: $a\in A$ ：判断一个对象是否满足集合 $A$ 的定义条件。
集合关系: $A\subseteq B$ ：判断一个集合是否完整落在另一个集合内。
集合运算: $A\cap B,A\cup B,\complement_U A$ ：组合或排除已有条件。
后续连接: 方程的根、不等式的解、函数的定义域和事件的范围，都可以用集合统一表达。

下一章将把条件之间的推出关系写成逻辑语言。仍在同一全集 $U$ 内，设 $P=\{x\in U\mid p(x)\}$ 、 $Q=\{x\in U\mid q(x)\}$ 。若 $P\subseteq Q$ ，那么对任意 $x\in U$ ，都有 $p(x)\Rightarrow q(x)$ 。

回看

本节小结

一个条件可以对应所有满足该条件的对象组成的集合
“且、或、非”分别对应交、并、补的语言结构
多个限制条件应先分别求出范围，再进行集合运算
最终结果需要注明讨论范围并写成清楚的集合形式

各卷考点范围

全国新高考 I 卷

全国新高考 II 卷

北京卷

天津卷

浙江卷

上海卷

集合语言的应用