10.3
复数的几何意义
在复平面中用点和向量表示复数。
本文章目录
01 · 出发点
让复数在平面中获得位置与方向
复数 z=a+bi 由两个实数 a、b 唯一确定，正好可以对应平面上的点 Z(a,b)。横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
从原点指向 Z 的向量也表示 z。这样，复数加减对应平面向量加减，代数运算获得直接的几何解释。
02 · 概念
复数、点与向量的一一对应
复数 a+bi、复平面内点 Z(a,b) 以及向量 OZ=(a,b) 三者一一对应。实数落在实轴上，纯虚数落在虚轴上。
z1+z2 对应向量的平行四边形和；z1-z2 对应从 z2 所在点指向 z1 所在点的向量。取共轭相当于关于实轴对称。
03 · 方法
翻译代数与几何信息
- 01
把复数的实部作为横坐标、虚部作为纵坐标，在复平面定位对应点。
- 02
处理和差时先转成向量合成或点间位移；处理共轭时使用关于实轴的对称。
- 03
从几何图形返回复数时读取点坐标并写成 a+bi，注意方向决定差的顺序。
04 · 例题
把方法落到具体问题
z1=2+3i，z2=-1+i。求 z1-z2，并指出其对应向量。
解
- 1
复平面中 z1、z2 分别对应 Z1(2,3)、Z2(-1,1)。
- 2
代数相减得 z1-z2=(2-(-1))+(3-1)i=3+2i。
- 3
向量 Z2Z1=(2-(-1),3-1)=(3,2)，正与复数 3+2i 对应。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 复数与复平面内的点一一对应。
- 复数加减对应平面向量加减。
- 共轭复数对应关于实轴对称的点。