14.6
等比数列前 n 项和
利用错位相减推导求和公式，并理解通项 a_n 与前 n 项和 S_n 的关系。
本文章目录
01 · 出发点
有限倍增如何累积
等比数列逐项相加时，后一项是前一项的固定倍数。把整个和式乘以公比再与原式相减，大部分项会成对消去。
这一错位相减方法的关键是 q≠1。公比为 1 时所有项都等于首项，应单独直接求和。
02 · 概念
错位相减与前 n 项和
设 S_n=a_1+a_1q+…+a_1q^{n-1}。当 q≠1 时，qS_n 与 S_n 相减得到 (1-q)S_n=a_1(1-q^n)。
因此 S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，也可写成 a_1(q^n-1)/(q-1)。当 q=1 时，S_n=na_1。分式形式的分子、分母符号必须同步。
03 · 方法
区分 q=1 并完成求和
- 01
确定首项、公比和项数，特别用末项指数核对项数：a_1q^{n-1} 对应第 n 项。
- 02
判断 q 是否为 1；q≠1 时选用符号一致的一组分式形式，q=1 时直接乘项数。
- 03
用估算或逐项短算检验：正项和应大于其中任一项，交替项则注意正负抵消。
04 · 例题
把方法落到具体问题
计算 1+2+2^2+…+2^9。
解
- 1
首项为 1，公比 q=2；指数从 0 到 9，共有 10 项。
- 2
因为 q≠1，代入 S_10=(1-2^{10})/(1-2)。
- 3
计算 2^{10}=1024，因此 S_10=(-1023)/(-1)=1023。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 错位相减利用相邻项的固定倍数关系消去中间项。
- 公比 q=1 必须单独处理，q≠1 时才使用分式公式。
- 指数范围、项数和末项之间的对应是求和前的首要检查点。