12.8
离散程度
用极差、方差和标准差描述数据波动。
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01 · 出发点
中心相同，波动可能完全不同
只报告平均数无法说明数据是否集中。两组数据可以具有相同中心，却一组稳定、一组分散。
极差、方差和标准差从不同角度描述离散程度，其中标准差与原数据单位相同，便于解释典型偏离大小。
02 · 概念
极差、方差与标准差
极差等于最大值减最小值，只使用两个端点，计算简单但易受极端值影响。方差是各数据与均值之差平方的平均，标准差是方差的非负平方根。
所有数据相同时方差和标准差为 0；数据整体加同一常数时方差不变，全部乘常数 c 时方差乘 c^2、标准差乘 |c|。
03 · 方法
计算并比较离散程度
- 01
求出各组均值，在中心相同或相近的前提下比较极差、方差或标准差。
- 02
列偏差、平方偏差并求平均，最后开非负平方根得到标准差。
- 03
解释结果时说明单位和比较基准；量纲或均值差异很大时需谨慎直接比较标准差。
04 · 例题
把方法落到具体问题
比较 A={4,5,6} 与 B={1,5,9} 的均值、方差和稳定性。
解
- 1
两组均值都为 5。A 的平方偏差和为 1+0+1=2，方差为 2/3。
- 2
B 的平方偏差和为 16+0+16=32，方差为 32/3。
- 3
因为 2/3<32/3，A 的标准差也更小，所以 A 更集中、更稳定。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 离散指标补充中心指标的信息。
- 方差平均平方偏差，标准差是其非负平方根。
- 方差越小表示数据通常越集中于均值附近。