8.7
平行与垂直的向量判定
用坐标关系判断向量共线与垂直。
本文章目录
01 · 出发点
用代数条件判定方向关系
平面几何中的平行与垂直可以转化为向量关系。坐标给出后，图形是否画得准确不再影响判断。
平行对应一个向量是另一个非零向量的实数倍，垂直对应数量积为零，两种条件都可化成坐标等式。
02 · 概念
共线与垂直的坐标判定
对 a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，两向量共线等价于 x1y2-x2y1=0。该行列式形式不需要除法，能避免坐标为 0 时的遗漏。
两非零向量垂直等价于 x1x2+y1y2=0。用于直线方向向量时，即可判定两直线平行或垂直。
03 · 方法
处理含参数的方向判定
- 01
从点坐标求出有关直线或线段的方向向量，并确认方向向量非零。
- 02
平行使用交叉乘积差为 0，垂直使用数量积为 0，列出参数方程。
- 03
解出参数后代回向量，检查是否出现零向量以及题目是否要求同向、反向或直线重合。
04 · 例题
把方法落到具体问题
已知 a=(2,k)，b=(3,-6)。分别求 a∥b 和 a⊥b 时 k 的值。
解
- 1
平行时使用 2×(-6)-3k=0，得到 -12-3k=0。
- 2
解得平行情形 k=-4；此时 a=(2,-4)=(2/3)b，验证成立。
- 3
垂直时使用 a·b=2×3+k×(-6)=0，解得 k=1；代回数量积为 0。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 共线可用交叉乘积差为零判定。
- 垂直可用数量积为零判定。
- 含参数判定必须代回检查非零等边界。