6.3
二分法与程序框图
用程序框图表达不断缩小异号区间的步骤，并借助计算工具求函数零点的近似值。
本文章目录
01 · 出发点
反复保留异号的一半区间
零点存在定理告诉我们根在某个区间，却不直接给出精确位置。二分法每次取区间中点，用函数值符号决定保留哪一半，从而稳定缩小根所在范围。
这一过程具有清楚的循环结构：输入区间、计算中点、判断停止条件、更新端点。它既适合手工近似，也便于用程序框图和代码实现。
02 · 概念
二分迭代与误差控制
设连续函数在 [a,b] 端点异号。取中点 m=(a+b)/2；若 f(m)=0 就结束，否则保留 [a,m] 或 [m,b] 中端点仍异号的一段。
迭代 n 次后区间长度为初始长度的 1/2^n。若用最终区间中点作近似根，绝对误差不超过该区间长度的一半。
03 · 方法
用流程化步骤实施二分法
- 01
选择函数连续且端点异号的初始区间 [a,b]，设定允许误差 ε。
- 02
循环计算中点 m 和 f(m)；若输出中点作为近似根，当 (b-a)/2≤ε 时停止，否则按函数值符号更新 a 或 b。
- 03
报告最终近似值、保留区间和误差界，使数值结果可以核验。
04 · 例题
把方法落到具体问题
对 f(x)=x²-2，从 [1,2] 开始进行三次二分，并给出根所在区间。
解
- 1
第一次中点为 1.5，f(1.5)=0.25>0，与 f(1)<0 比较，保留 [1,1.5]。
- 2
第二次中点为 1.25，f(1.25)=-0.4375<0，保留 [1.25,1.5]。
- 3
第三次中点为 1.375，f(1.375)=-0.109375<0，保留 [1.375,1.5]。
- 4
新区间长度为 0.125；用中点 1.4375 近似时，误差不超过 0.0625。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 二分法依靠连续函数的端点异号保持零点存在。
- 每次迭代将区间长度减半。
- 程序框图应包含中点计算、停止判断和端点更新。