16.2
直线的方程
根据已知条件选择点斜式、斜截式、两点式或一般式。
本文章目录
01 · 出发点
一个点加一个方向如何确定直线
直线的几何条件可以翻译成一次方程。已知一个点和方向、两个点或两个截距时，选择匹配的方程形式能减少未知量和变形步骤。
点斜式最基础，斜截式突出斜率和纵截距，两点式避免预先求截距，一般式 Ax+By+C=0 则能统一表示包括竖直线在内的所有直线。
02 · 概念
四种直线方程及适用条件
过点 (x_0,y_0)、斜率为 k 的直线为 y-y_0=k(x-x_0)；斜率存在时可写 y=kx+b。过两个横、纵坐标均不同的点可用两点式。
一般式 Ax+By+C=0 要求 A、B 不同时为 0。特殊形式都有适用条件：竖直线不能写点斜式，截距式 x/a+y/b=1 要求两个非零截距存在。
03 · 方法
按已知条件选择方程形式
- 01
整理已知条件，优先选择无需额外计算且满足适用条件的方程形式。
- 02
代入点与斜率或两个点，保留括号完成代数整理，必要时化为一般式。
- 03
把全部已知点代回方程，并检查所得直线的斜率、截距或竖直特征。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求经过 P(2,-1) 和 Q(5,5) 的直线方程。
解
- 1
两点横坐标不同，斜率 k=[5-(-1)]/(5-2)=6/3=2。
- 2
用点 P 写点斜式：y-(-1)=2(x-2)，即 y+1=2x-4。
- 3
整理得 2x-y-5=0；代入 Q，10-5-5=0，验证 Q 在直线上。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 直线方程形式的选择取决于已知条件和适用范围。
- 一般式能统一表示斜线、水平线和竖直线。
- 代回已知点与核对方向是检验直线方程的直接方法。