4.5
函数的最大值与最小值
在定义域内比较函数值并识别最大值与最小值。
本文章目录
01 · 出发点
最值必须与定义域内全部函数值比较
函数图象上的最高点和最低点对应最大值与最小值，但“最高”始终相对于给定定义域。改变区间后，同一解析式的最值可能改变，也可能不再存在。
局部转折点不一定是全局最值。求闭区间上的最值时，既要考察内部可能的极端位置，也不能遗漏区间端点。
02 · 概念
最大值、最小值与可达性
若存在 x₀∈D，使对任意 x∈D 都有 f(x)≤f(x₀)，则 f(x₀) 是 D 上的最大值；最小值类似。最值是函数值，而 x₀ 是取得最值的自变量。
配方可直接读取抛物线顶点，单调性可把区间比较缩减到端点，图象则能展示候选位置。所得上界或下界必须由定义域中的输入实际达到，才称为最大值或最小值。
03 · 方法
寻找区间上的全局最值
- 01
明确函数定义域与题目指定区间，列出端点、顶点或单调性改变处等候选位置。
- 02
利用配方、图象或单调性求各候选函数值，并与区间内其他值建立统一比较。
- 03
报告最值与对应自变量，同时检查候选点是否属于定义域、端点是否包含。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求 f(x)=x²-4x+5 在 [0,5] 上的最大值和最小值。
解
- 1
配方得 f(x)=(x-2)²+1，顶点 x=2 属于 [0,5]，所以最小值为 f(2)=1。
- 2
函数在 [0,2] 上递减，在 [2,5] 上递增，因此最大值只能在两个端点中产生。
- 3
计算 f(0)=5，f(5)=10，比较得端点 x=5 的函数值更大。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 最值要与定义域内所有函数值比较。
- 界必须能够取到才是最大值或最小值。
- 闭区间问题应同时检查内部候选点和端点。