15.2
导数的概念
理解导数定义及其几何意义和物理意义。
本文章目录
01 · 出发点
把无限缩短的平均变化率变成数
瞬时速度、边际成本和曲线切线斜率虽然来自不同情境，却共享同一个差商极限。导数就是对这一局部变化率的统一刻画。
函数在某点有导数，意味着从左右两侧靠近该点时，差商趋向同一个有限值。导数存在是一项局部性质，不等同于函数在整个定义域都有导数。
02 · 概念
差商极限与可导性
若极限 lim_{h→0}[f(x_0+h)-f(x_0)]/h 存在，则称 f 在 x_0 处可导，该极限记为 f'(x_0)。它表示函数在 x_0 处相对于 x 的瞬时变化率。
若函数在区间内每一点可导，就可把 x 对应到 f'(x)，得到导函数 f'(x)。点导数是一个数，导函数是一个新的函数，二者的角色不能混淆。
03 · 方法
按定义求一点处导数
- 01
按定义写差商，完整代入 f(x_0+h) 与 f(x_0)，并标明 h≠0。
- 02
通过因式分解、通分或有理化消去造成 0/0 的公共因子。
- 03
计算 h→0 的极限；必要时分别考察左右极限，最后说明导数值及其意义。
04 · 例题
把方法落到具体问题
用导数定义求 f(x)=x^2 在 x=3 处的导数。
解
- 1
写差商：[f(3+h)-f(3)]/h=[(3+h)^2-9]/h。
- 2
展开并约去 h：[(6h+h^2)/h]=6+h，其中 h≠0。
- 3
令 h→0，6+h→6，所以 f'(3)=6。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 导数是差商在自变量增量趋于零时的极限。
- 点导数是数，导函数则描述各点导数组成的新函数。
- 可导要求左右差商趋于同一个有限值。