4.3
分段函数
按照自变量所在范围选择对应规则，并读取分段函数图象。
本文章目录
01 · 出发点
不同输入区间可以采用不同规则
出租车计费、个人所得税和阶梯电价都可能在不同区间使用不同公式。分段函数仍然是一个函数，只是对应规则要依据输入所在范围选择。
求函数值或解方程时，代入哪一段由自变量决定。每一段算出的候选解都必须返回该段的范围检查。
02 · 概念
分段规则与边界归属
分段函数用若干互不冲突的定义域片段和各自的解析式共同定义。所有片段的并集构成总定义域，每个输入只能落入一个有效规则，边界上的等号尤其要看清。
画图时分别在各段范围内作图，端点取到用实心点，取不到用空心点。求值域或研究单调性时，也要先分析各段，再比较不同段的输出。
03 · 方法
读取和求解分段函数
- 01
先判断给定 x 属于哪一段，只代入该段公式计算函数值。
- 02
解方程或不等式时逐段求候选解，并分别与该段范围取交集。
- 03
合并各段结果，同时检查公共边界的等号归属、空心点和实心点。
04 · 例题
把方法落到具体问题
设 f(x)=x+1（x<0），f(x)=x²（x≥0）。求 f(-2)、f(2)，并解 f(x)=1。
解
- 1
-2<0，使用第一段，f(-2)=-2+1=-1；2≥0，使用第二段，f(2)=4。
- 2
在 x<0 中解 x+1=1 得 x=0，但 0 不满足 x<0，因此舍去。
- 3
在 x≥0 中解 x²=1 得 x=±1，只有 x=1 满足本段范围。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 分段函数由区间条件和对应规则共同定义。
- 边界等号决定端点采用哪一段。
- 逐段求解后的结果必须验区间再合并。