18.2
空间向量基本定理
用三个不共面的基底唯一表示空间中的任意向量。
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01 · 出发点
三个不共面的方向足以描述空间
平面内需要两个不共线方向描述任意向量，空间中则需要三个不共面的方向。它们构成空间的一组基底。
选定基底后，任意空间向量都能且只能写成三个基向量的线性组合。唯一性使几何对象可以稳定地对应到三维坐标。
02 · 概念
基底、唯一分解与坐标
若 e_1、e_2、e_3 不共面，则对任意空间向量 p，存在唯一实数组 x、y、z，使 p=xe_1+ye_2+ze_3。这就是空间向量基本定理。
不共面是关键条件：若三个向量共面，它们的线性组合仍留在该平面方向内，不能表示平面外向量；同时表示系数也可能不唯一。
03 · 方法
选基底并求分解系数
- 01
先证明或确认候选的三个基向量不共面，例如它们来自空间坐标轴或四面体同一顶点的三条棱。
- 02
把目标向量写成未知系数的线性组合，按坐标分量或几何路径建立方程组。
- 03
解出三个系数并回代；利用表示唯一性比较两个向量等式中的对应系数。
04 · 例题
把方法落到具体问题
已知 e_1=(1,0,1)、e_2=(0,2,1)、e_3=(1,1,0) 不共面，用它们表示 p=(3,4,2)。
解
- 1
设 p=xe_1+ye_2+ze_3，比较三个分量得 x+z=3，2y+z=4，x+y=2。
- 2
由前两式 x=3-z、y=(4-z)/2，代入 x+y=2 得 5-3z/2=2，所以 z=2。
- 3
进而 x=1、y=1；回代 e_1+e_2+2e_3=(3,4,2)，与 p 一致。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 空间的一组基底由三个不共面向量组成。
- 任意空间向量在给定基底下存在唯一的线性表示。
- 比较基底系数可以把向量等式转化为实数方程组。