12.4
分层随机抽样
按总体结构分层，进行样本量比例分配并计算样本均值与方差。
本文章目录
01 · 出发点
让总体中的重要类型都进入样本
当总体由差异明显的若干群体组成时，完全混合后简单随机抽样可能偶然漏掉人数较少的群体。分层随机抽样先按关键特征分层，再在各层内随机抽取。
按各层人数比例分配样本量，能够保持样本结构与总体结构接近；层内仍须使用随机方法。
02 · 概念
比例分配与分层估计
总体容量 N 分为各层 N1,...,Nk，总样本量 n 时，比例分配取 nh≈nNh/N，并通过适当取整保证各层样本量之和为 n。
总体均值可用各层样本均值的加权和估计，权重为 Nh/N。分层有效的前提是层间差异与研究变量有关，并且每个个体只属于一个层。
03 · 方法
设计分层随机样本
- 01
根据与研究指标相关且互斥完备的特征划分层，统计每层容量 Nh。
- 02
按 nh≈nNh/N 计算并协调取整，在各层内独立实施简单随机抽样。
- 03
估计总体指标时使用总体层比例加权，不能简单平均规模不同的层均值。
04 · 例题
把方法落到具体问题
三个年级人数为 120、180、300，抽取 60 人。各层样本平均成绩为 78、75、72，求各层样本量及总体均值估计。
解
- 1
总人数 N=600，三个年级比例为 0.2、0.3、0.5。
- 2
比例分配得到样本量 60×0.2=12、60×0.3=18、60×0.5=30。
- 3
加权均值为 0.2×78+0.3×75+0.5×72=74.1。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 分层适合结构异质的总体。
- 比例分配保持样本与总体的层结构一致。
- 层均值应按总体层比例加权。