14.5
等比数列
研究等比数列的通项与性质，并理解它和指数函数的联系。
本文章目录
01 · 出发点
相邻项保持固定倍数
细胞按固定倍数增长、资产按固定利率复利变化，关注的不是每次增加同一个量，而是后一项与前一项保持同一个倍数。
等比数列刻画相对变化恒定的过程。只要前一项非零，相邻项之比为常数；通项随序号呈指数变化。
02 · 概念
公比、通项与指数变化
非零数列 {a_n} 为等比数列，当存在非零常数 q，使 a_{n+1}/a_n=q。由连续相乘得到 a_n=a_1q^{n-1}。
任意两项满足 a_n=a_mq^{n-m}。若各项非零且 i+j=k+l，则 a_i a_j=a_k a_l；三个相邻项满足 a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}。
03 · 方法
由已知项恢复等比数列
- 01
由两项作商：利用 a_n/a_m=q^{n-m} 求公比，并结合实数范围判断可能的 q。
- 02
恢复首项：把公比代入任一已知项，求出 a_1 后写出通项。
- 03
检查条件：确认用作分母的项非零，并把通项代回全部已知项验证。
04 · 例题
把方法落到具体问题
实数等比数列 {a_n} 中，a_2=6，a_5=162，求通项公式和 a_6。
解
- 1
由 a_5/a_2=q^{5-2}，得 q^3=162/6=27，因此实数公比 q=3。
- 2
由 a_2=a_1q 得 a_1=6/3=2，所以 a_n=2·3^{n-1}。
- 3
令 n=6，a_6=2·3^5=486；由 a_5q=162×3 也得到 486。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 等比数列由相邻非零项之比为常数定义。
- 通项 a_n=a_1q^{n-1} 体现指数型变化。
- 等距下标的项具有乘积相等关系，但使用时需注意非零条件。