15.6
用导数研究单调性
根据导数符号判断函数的增减区间。
本文章目录
01 · 出发点
导数符号如何控制升降
函数图象上升时切线斜率通常为正，下降时切线斜率通常为负。导数把图象趋势转化为可以求解的不等式。
研究单调性必须在函数定义域内进行，并按导数为零或不存在的点分割区间。单个点本身不是单调区间，关键是每个开区间内导数的符号。
02 · 概念
临界点与单调区间
在某区间内，若 f'(x)>0，则 f 在该区间单调递增；若 f'(x)<0，则 f 单调递减。导数恒为零对应常函数，而个别点导数为零不妨碍整体严格单调。
求单调区间的实质是解导数不等式。临界点将定义域分段，在每段选测试值或由因式符号判断 f' 的正负。
03 · 方法
用符号表划分增减
- 01
先写函数定义域并求 f'(x)，解 f'(x)=0，同时记录导数不存在的定义域内点。
- 02
用这些临界点分割定义域，制作符号表，判断每个区间内 f'(x) 的符号。
- 03
依据正增负减写出单调区间，使用区间符号并核对是否跨越定义域断点。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求 f(x)=x^3-3x 的单调区间。
解
- 1
定义域为 R，求导得 f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)。
- 2
临界点为 x=-1、1。符号判断得到：x<-1 时 f'>0，-1<x<1 时 f'<0，x>1 时 f'>0。
- 3
由正增负减，函数在 (-∞,-1) 与 (1,+∞) 上递增，在 (-1,1) 上递减。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 函数单调性可以转化为导数符号问题。
- 临界点与定义域断点共同决定符号表的分段。
- 规范答案应分别列出每个连续的单调区间。