2.4
含量词命题的否定
掌握量词互换和结论否定，准确写出命题的否定。
本文章目录
01 · 出发点
否定命题就是准确描述它失败的情形
否定“所有同学都到齐”不是“所有同学都没到”，而是“至少有一名同学没到”。量词命题的否定会同时改变量词和所述性质。
数学中的否定必须覆盖原命题恰好不成立的全部情形。正确写出否定，是反例构造、反证法和逻辑等价变形的基础。
02 · 概念
量词互换与性质否定
全称命题“∀x∈M，p(x)”失败，意味着在 M 中至少存在一个对象使 p(x) 不成立，因此它的否定是“∃x∈M，非 p(x)”。
存在命题“∃x∈M，p(x)”失败，意味着 M 中每个对象都不具有性质 p，因此它的否定是“∀x∈M，非 p(x)”。否定不改变原论域。
03 · 方法
三步写出含量词命题的否定
- 01
保持对象范围不变，识别原命题最外层是全称量词还是存在量词。
- 02
把 ∀ 与 ∃ 互换，再对性质 p(x) 作逻辑否定。
- 03
检查新命题是否恰好描述原命题失败的情形，尤其核对严格与非严格不等号。
04 · 例题
把方法落到具体问题
写出命题“对任意实数 x，都有 x²-2x+2>0”的否定，并判断原命题真假。
解
- 1
原命题使用全称量词，论域为 R，因此否定要把全称量词换成存在量词。
- 2
性质“x²-2x+2>0”的否定是“x²-2x+2≤0”。
- 3
配方得 x²-2x+2=(x-1)²+1≥1，所以不存在使其≤0的实数。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 全称命题的否定是存在一个反例。
- 存在命题的否定是所有对象都不满足性质。
- 论域保持不变，量词与被描述的性质都要正确变化。