8.1
向量的概念与表示
认识向量的大小、方向和有向线段表示。
本文章目录
01 · 出发点
既有大小又有方向的量
位移、速度和力只给出数值还不完整：向东走 5 米与向西走 5 米的结果不同。数学把同时具有大小和方向的量称为向量。
向量通常用有向线段表示，箭头指出方向，线段长度表示大小。研究向量时只比较大小和方向，不关心有向线段画在平面的什么位置。
02 · 概念
向量、模与特殊向量
以 A 为起点、B 为终点的向量记作向量 AB，其模记作 |AB|。大小相等且方向相同的向量相等；方向相同或相反的非零向量称为共线向量。
模为 0 的向量是零向量，方向任意约定；模为 1 的向量是单位向量。与向量 a 大小相等、方向相反的向量记作 -a。
03 · 方法
识别与表示向量
- 01
先判断对象是否同时具有大小和方向；路程、质量等只有大小，是数量而不是向量。
- 02
用起点在前、终点在后的两个大写字母写有向线段，换序会得到相反向量。
- 03
比较两个向量时分别核对模和方向；平行但反向的等长向量互为相反向量。
04 · 例题
把方法落到具体问题
平行四边形 ABCD 中，指出与向量 AB 相等及相反的向量，并设边长 AB=3，求它们的模。
解
- 1
平行四边形对边平行且相等，AB 与 DC 方向相同，所以向量 AB=向量 DC。
- 2
向量 BA 和向量 CD 都与向量 AB 等长且方向相反，因此它们均为 -向量 AB。
- 3
向量的模等于对应线段长度，故 |AB|=|DC|=|BA|=|CD|=3。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 向量由大小和方向共同确定。
- 相等向量可位于不同位置。
- 零向量的模为 0，相反向量大小相等而方向相反。