17.2
椭圆的定义与方程
由到两焦点距离之和为常数建立椭圆标准方程。
本文章目录
01 · 出发点
距离之和固定会形成什么曲线
把细绳两端固定在两个点并保持绳子绷紧，铅笔移动时到两个固定点的距离之和保持不变，画出的封闭曲线就是椭圆。
两个定点称为焦点。距离和必须大于两焦点距离，轨迹才是非退化椭圆；等于焦距时轨迹退化为两焦点之间的线段。
02 · 概念
焦点定义与标准方程
平面内到两个定点 F_1、F_2 的距离之和等于常数 2a，且 2a>|F_1F_2|=2c 的点的轨迹是椭圆。令 b^2=a^2-c^2，可得到标准方程。
焦点在 x 轴时方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1；焦点在 y 轴时两个分母交换。无论方向如何，a>b>0，较大分母所在轴是长轴和焦点轴。
03 · 方法
由焦点和常数确定椭圆
- 01
从焦点位置确定焦点轴，令距离和为 2a、焦距为 2c。
- 02
计算 a、c，再由 b^2=a^2-c^2 求另一半轴，并检查 a>c>0。
- 03
按焦点轴放置较大分母写标准方程，并代入顶点或利用距离和复核。
04 · 例题
把方法落到具体问题
椭圆的焦点为 (-3,0)、(3,0)，椭圆上点到两焦点的距离和为 10，求标准方程。
解
- 1
焦点在 x 轴，2c=6，所以 c=3；距离和 2a=10，所以 a=5。
- 2
由 b^2=a^2-c^2=25-9=16，得 b=4，并满足 a>c。
- 3
较大分母 25 放在 x^2 下，得到 x^2/25+y^2/16=1；顶点 (5,0) 到两焦点距离和为 2+8=10。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 椭圆由到两焦点距离之和为大于焦距的常数定义。
- 标准方程中较大分母决定长轴与焦点方向。
- 长半轴、短半轴和半焦距满足 a^2=b^2+c^2。