平面向量的投影与投影向量

01 · 出发点

一个向量在指定方向上贡献多少

斜向的力推动物体水平移动时，真正沿运动方向起作用的是力在水平方向上的分量。投影用来刻画这种方向上的有效贡献。

数量投影带有正负号，记录投影与指定方向同向还是反向；投影向量则把这个有符号长度重新放回指定方向。

02 · 概念

数量投影与投影向量

非零向量 b 确定一个方向，a 在 b 上的数量投影定义为 (a·b)/|b|，它是实数，可能为负或零；当 a、b 均非零时，它也等于 |a|cos theta。a=0 时投影为 0，但不再谈两向量夹角。

a 在 b 上的投影向量为 [(a·b)/|b|^2]b。它与 b 共线；a 减去该投影向量所得分量与 b 垂直。

03 · 方法

分解平行与垂直分量

1. 01

   先确认作为投影方向的向量 b 非零，再计算 a·b 与 |b|^2。

2. 02

   代入公式得到平行分量 p，再令垂直分量 q=a-p。

3. 03

   用 q·b=0 检验垂直分量，并检查 p+q 是否还原 a。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界