2.3
全称量词与存在量词
用“任意”和“存在”准确限定命题讨论的对象范围。
本文章目录
01 · 出发点
用量词说明究竟讨论多少个对象
“每一个实数都满足”与“至少有一个实数满足”看似只差几个字，证明任务却完全不同。前者要覆盖给定范围内的全部对象，后者只要求找到一个对象。
全称量词和存在量词把对象范围与性质绑定在一起。书写时若省略范围，同一个式子可能得到不同的真假判断。
02 · 概念
全称命题与存在命题
全称命题写成“对任意 x∈M，p(x) 成立”，记作 ∀x∈M，p(x)。证明它通常要任取一个 x，并作不依赖特殊取值的推导；推翻它只需一个反例。
存在命题写成“存在 x∈M，使 p(x) 成立”，记作 ∃x∈M，p(x)。证明它可以构造一个满足条件的对象；判定它为假则要说明范围内所有对象都不满足性质。
03 · 方法
根据量词选择证明任务
- 01
先标出论域 M、量词类型以及对象要满足的性质 p(x)。
- 02
处理全称命题时任取一般对象推导；若要否定真假，则优先搜索边界值、特殊值或反号值作为反例。
- 03
处理存在命题时构造并核验一个对象；若认为不存在，则需要覆盖整个论域作统一排除。
04 · 例题
把方法落到具体问题
判断：①对任意实数 x，都有 x²+1>0；②存在整数 n，使 n²=10。
解
- 1
对①，任取 x∈R，由 x²≥0 得 x²+1≥1>0，所以全称要求得到满足。
- 2
对②，若整数 n 满足 n²=10，则 3<n<4 或 -4<n<-3。
- 3
上述两个开区间内都没有整数，因此找不到满足等式的整数 n。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- ∀ 表示对论域中的任意对象，∃ 表示至少存在一个对象。
- 全称命题的证明要一般化，存在命题的证明可用构造。
- 命题的真假依赖量词、性质和论域三部分。