正弦、余弦函数的图象与性质

01 · 出发点

从单位圆展开周期波形

角在单位圆上匀速转动时，纵坐标生成正弦曲线，横坐标生成余弦曲线。图象把周期、最值、零点和单调区间集中呈现出来。

正弦与余弦只相差水平平移，但奇偶性不同：正弦图象关于原点对称，余弦图象关于 $y$ 轴对称。

02 · 概念

正弦、余弦函数的完整性质

$y=\sin x$ 与 $y=\cos x$ 的定义域均为 $\mathbb R$，值域均为 $[-1,1]$，最小正周期均为 $2\pi$。 $\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数。

在一个周期内标出 $0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 五个关键点，便可借周期延拓。单调区间与零点可以从图象读取，并写成带整数 $k$ 的通式。

03 · 方法

作图并求解三角方程

1. 01

   在一个周期内标出关键角及函数值，用平滑曲线连接，再按 $2\pi$ 周期延拓。

2. 02

   从水平线与图象交点读取基本周期内的解，注意对称位置。

3. 03

   若求全体解，给基本解分别加 $2k\pi$；若有限区间求解，则筛选端点。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界