4.2
定义域与值域
从实际意义和表达式限制确定函数的输入与输出范围。
本文章目录
01 · 出发点
先确定能输入什么，再判断能输出什么
函数式并不保证所有实数都能代入：分母不能为零，偶次根号下不能为负，对数真数必须为正。定义域规定模型允许接收的输入。
值域则回答函数实际能够产生哪些输出。求值域不仅要看表达式，还要结合定义域、图象和变量之间的约束。
02 · 概念
定义域与值域的确定
定义域是使函数关系有意义的所有输入组成的集合。实际问题中，还要叠加时间非负、长度为正、数量为整数等情境限制。
值域是当 x 遍历定义域时所有 f(x) 的集合。常用方法包括观察图象、配方、利用单调性、换元以及根据基本不等式估计，并必须检查边界能否取到。
03 · 方法
求定义域和值域
- 01
逐项列出分母、根式、对数及实际背景带来的输入限制，并取这些条件的交集。
- 02
在确定的定义域上研究函数图象、单调区间或代数结构，得到输出的上下界。
- 03
检查上下界是否能取到，并用区间或集合形式写出完整值域。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求函数 y=√(4-x²) 的定义域和值域。
解
- 1
偶次根式要求 4-x²≥0，即 x²≤4，所以 -2≤x≤2。
- 2
由根号性质 y≥0；又因 4-x²≤4，所以 y≤2。
- 3
任取 y∈[0,2]，令 x=√(4-y²)，则 x∈[0,2] 且 √(4-x²)=y，所以区间内每个 y 都能取得。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 定义域由所有输入限制的交集确定。
- 值域是定义域上实际函数值的集合。
- 区间端点是否包含必须由可达性决定。