16.8
直线与圆的实际应用
用直线和圆的方程解决简单的数学问题、轨迹问题与实际问题。
本文章目录
01 · 出发点
把路径与圆形边界放进坐标系
道路可近似为直线，雷达覆盖区、喷灌区和安全边界常近似为圆。选择坐标系后，进入、离开和切触这些区域都转化为直线与圆的交点问题。
轨迹问题则反向进行：先从动点满足的距离或方向条件列方程，再识别方程表示的直线或圆。模型结论要结合实际路径方向和单位解释。
02 · 概念
交点、切线与区域约束
建立坐标模型时应让关键直线与坐标轴平行、让圆心坐标简单。直线参数或方程描述运动路径，圆方程描述等距边界。
联立所得交点对应进入和离开边界的时刻或位置；两交点之间是否位于圆内，可代入中间点检查，也可依据弦段的几何性质判断。
03 · 方法
从方程结果筛选现实区间
- 01
选取原点和坐标轴，定义每个坐标的现实单位，并把边界与路径分别写成方程。
- 02
联立求交点或用距离比较判定，随后根据路径方向确定进入段、离开段。
- 03
将坐标结果还原为距离、位置或时间，剔除不满足实际范围的解并说明边界含义。
04 · 例题
把方法落到具体问题
一条道路用 x 轴 y=0 表示，圆形限制区为 (x-4)^2+(y-3)^2≤25。求道路位于限制区内的 x 范围及路段长度。
解
- 1
把道路方程 y=0 代入圆的边界：(x-4)^2+9=25。
- 2
解得 (x-4)^2=16，所以两个边界交点横坐标为 x=0、x=8。
- 3
测试中点 x=4 时 0+9≤25，故两交点之间位于圆内；路段长度为 8-0=8。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 直线与圆模型能描述路径穿越、切触和等距轨迹。
- 交点给出边界，区间内部归属还要用不等式或测试点判断。
- 坐标结论必须经过方向、范围和单位的现实筛选。