14.9
数学归纳法
用基础步骤和递推步骤证明与正整数有关的命题。
本文章目录
01 · 出发点
为什么验证有限项还不够
与正整数 n 有关的命题包含无穷多个具体情形，逐个验证永远不能完成证明。数学归纳法通过“验证起点”和“建立传递”覆盖全部正整数。
它可以类比一列依次排列的多米诺骨牌：第一块确实倒下，并且任一块倒下都能推出下一块倒下，二者同时成立才形成完整链条。
02 · 概念
基础步骤与递推步骤
证明 P(n) 对 n≥n_0 成立，先验证 P(n_0)；再假设 P(k) 成立，并在这一假设下证明 P(k+1) 成立。由归纳原理可得命题对所有 n≥n_0 成立。
归纳假设不是待证结论的循环使用，而是递推步骤中的条件。证明 P(k+1) 时应明确用到 P(k)，并把新出现的一项或新结构与假设衔接。
03 · 方法
搭建完整的归纳证明链
- 01
验证基础：把最小允许值 n_0 代入命题两边，完成明确的等式或不等式检查。
- 02
写归纳假设：设 k≥n_0 且 P(k) 成立，完整写出假设的具体数学式。
- 03
证明下一步：从 n=k+1 的一边出发，分离新增部分并使用归纳假设，化到另一边，最后给出归纳结论。
04 · 例题
把方法落到具体问题
用数学归纳法证明：对任意正整数 n，1+3+…+(2n-1)=n^2。
解
- 1
基础步骤：n=1 时，左边为 1，右边为 1^2=1，命题成立。
- 2
归纳假设：设 n=k 时 1+3+…+(2k-1)=k^2 成立。
- 3
当 n=k+1 时，左边等于 k^2+[2(k+1)-1]=k^2+2k+1=(k+1)^2，所以 P(k+1) 成立。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 数学归纳法证明的是一串由正整数索引的命题。
- 规范证明包括基础步骤、归纳假设、递推证明和最终结论。
- 递推步骤必须建立 P(k) 到 P(k+1) 的有效联系。