简单复合函数的导数

01 · 出发点

先识别外函数与线性内层

函数 (2x-1)^4 不是单纯的 x 的四次幂，而是先由 x 得到 2x-1，再取四次幂。这样的“函数套函数”构成复合函数。

复合函数求导要沿运算顺序逐层传递变化率：外层函数对中间变量的变化率，乘以内层函数对 x 的变化率。

02 · 概念

f(ax+b) 的求导规则

若 y=f(u)，u=g(x)，则 y 对 x 的导数为 f'(g(x))g'(x)，即先求外层导数并保留内层，再乘内层导数。

对简单结构 f(ax+b)，其导数为 af'(ax+b)。系数 a 来自内层 ax+b 的导数；平移常数 b 的导数为 0，但仍保留在外层函数的自变量中。

03 · 方法

分层求导并保留内层系数

1. 01

   从外向内辨认层次，令 u=g(x)，把原式暂时写成 y=f(u)。

2. 02

   求 dy/du 与 du/dx，再相乘得到 dy/dx，并把 u 换回 g(x)。

3. 03

   化简后用一个具体点或先展开再求导的方式交叉核验。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界